”Matematiikkaa… Mihin minä tätä koskaan tarvitsen?”

Otsikon lausahdus on tuttu kaikille matematiikkaa työkseen opettaville. Lausahduksen voi hyvin kuulla niin pienen esikoululaisen kuin yliopisto-opiskelijankin suusta. Pysähdytään pohtimaan hetkeksi, mitä hyötyä matematiikasta on arkielämässä.

On täysin totta, että arjessa selviää ilman ”matikkaa”, logaritmeja, potenssifunktioita, derivaattoja tai määrättyjä integraaleja, jopa silloinkin, kun ladataan Instagramiin selfie ja kohennetaan kuvaa jollain Fourier’n muunnoksiin perustuvalla filtterillä, tai kun ajetaan autolla vieraalla paikkakunnalla navigaattorin avulla. Oletko joskus ihmetellyt, miten navigaattori pysyy auton liikkeiden mukana ja osaa vielä melko tarkasti ohjata sinut oikeaan haluamaasi osoitteeseen? Ilman Einsteinin suhteellisuusteoriaa noudattavia korjaustermejä navigaattorikin eksyisi. (Siltanen, 2019.) Paljon matematiikkaa tapahtuu arjessa ilman, että edes ajattelemme matematiikkaa. Nykyisin arjessa oleva matematiikka on piilotettuna mm. älypuhelimen sovelluksiin (Siltanen, 2019).

Matematiikka varhaiskasvatuksessa

Varhaiskasvatuksen opettajat tekevät tärkeää työtä harjoittaessaan lasten matemaattisia taitoja ja valmiuksia jo ennen peruskouluikää. Jo pieni lapsi hahmottaa lukumääriä ja kiinnittää huomiota säännönmukaisuuksiin. Myös ilmiöiden tutkiminen ja pohtiminen on varhaiskasvatusikäiselle luontaista. Pieni lapsi on kuin tutkimusmatkailija uuden äärellä, ja elämän erilaiset ilmiöt kiinnostavat aina pilvien muodostumisesta siihen, miksi avaruudessa on kylmä, miten lentokoneet pysyvät taivaalla ja mitä pakkanen on. Matematiikka onkin kieli, joka yhdistää lapsia esimerkiksi kulttuurisesti moninaisessa ryhmässä (Huotilainen 2019).

Professori Samuli Siltanen vertaa kirjassaan Astu matematiikan maailmaan osuvasti matematiikan taitoja lukutaitoon. Matematiikan eräs hienous on siinä, ettei tarvitse olla matemaatikko nauttiakseen matematiikasta (Siltanen, 2019). Ihmettely ja kiinnostuneisuus ovat avainasemassa. Tässä varhaiskasvatuksen opettajat ovat tärkeässä roolissa: oppimisen ilon ja motivaation synnyttämisessä. Varhaiskasvatuksen opettajien koulutuksessa matematiikan pedagogiikkaan tutustutaan sekä teorian tasolla että konkreettisesti erilaisin toiminnallisin menetelmin. Koulutuksessamme pureudutaan matemaattisten valmiuksien tukemiseen monipuolisin keinoin eheyttävän pedagogiikan periaatteiden mukaisesti. Opinnoissa suunnitellaan tavoitteellista toimintaa, jossa lapsen osallisuus, eri tavat oppia sekä erilaiset työtavat, kuten leikki ja liikkuminen, tukevat lapsen matemaattista ajattelua. Matematiikka on myös koulutuksessamme matemaattisten lainalaisuuksien ihmettelyä, tutkimista, leikkimistä ja niiden parissa seikkailua!

Varhaiskasvatuksessa ja esiopetuksessa matemaattisen ajattelun kehittymisessä kannattaakin hyödyntää tätä lasten luontaista uteliaisuutta ja kiinnostusta uuden oppimista, lukujonoja, lukumääriä, luokittelua, vertailua, muotoja ja numeroita kohtaan sekä vahvistaa varhaiskasvatustoiminnassa kokonaisvaltaisesti lasten matemaattista ajattelua. Samalla vahvistetaan monia aikuisenakin tarvittavia oppimisen ja hahmottamisen taitoja.

Lapsia kannustetaan kehittämään matemaattisia taitojaan toiminnallisesti, leikkien ja eri aisteja käyttäen erilaisissa oppimisympäristöissä. Opetuksessa tutustutaan matematiikkaan ja sen osa-alueisiin havainnollisesti ja yhdessä toimien. Lapsia innostetaan pohtimaan ja kuvailemaan matemaattisia havaintojaan erilaisissa arjen tilanteissa opettajan mallintamisen ja kielellistämisen avulla. Havaintoja harjoitellaan esittämään itse ja kuvien sekä erilaisten välineiden avulla. Toiminta suunnitellaan niin että siinä on paljon mahdollisuuksia luokitella, vertailla, asettaa järjestykseen asioita ja esineitä sekä löytää ja tuottaa säännönmukaisuuksia. Opetukseen kuuluu muistia kehittäviä leikkejä ja tehtäviä. Lapsia kannustetaan myös toimintaympäristöön liittyvien ongelmanratkaisutehtävien päättelyyn ja ratkaisujen etsimiseen.” (OPH 2014, 36)

On harhaanjohtavaa sanoa, että ”minulla ei ole matikkapäätä!” (Siltanen, 2019.) tai ”matemaattiset taidot tulevat ihmiselle äidinmaidossa, jos ylipäätään ovat tullakseen!”, sillä ajatus on myytti. Matemaattiset taidot syntyvät harjoittelemalla, joten kuka tahansa voi edistyä omissa matematiikan taidoissaan (Siltanen, 2019).

Matemaattinen ajattelu on johdonmukaista erilaisten ilmiöiden ja tilanteiden pohdiskelua sekä johtopäätösten ja päätelmien tekemistä – ja tämä treenaa aivoja kuin kuntosaliharjoittelu tai juoksulenkki! Jotka molemmat ovat minulle tärkeitä vapaa-ajan harrastuksia. Ei kukaan arjessa tarvitse hack-kyykkyä tai haarahyppyä sellaisenaan kuin niitä kuntosalilla tehdään, mutta Siltasta mukaillen näistäkin liikkeistä on kuitenkin hyötyä vaikkapa muuttolaatikoiden nostamisessa tai aamulla bussiin juostessa. Suuruusluokkien ja vertailun taito auttaa asunto- tai opintolainaa pohdittaessa, prosenttilaskujen hallitseminen auttaa puolestaan tarkistamaan kaupassa alennettujen tuotteiden hinnoittelun tai saadun nettopalkan määrän. (Siltanen, 2019.) Myös esimerkiksi tilastonlukutaito on osa yleissivistystä! Jokaisen on siis hyvä osata edes jonkin verran matematiikkaa (Siltanen, 2019) – ja pohja tälle luodaan jo varhaiskasvatuksessa mm. lukukäsitteen, geometristen muotojen, lukujonotaitojen ja ohjelmoinnin alkeiden sekä erilaisten pienten laskutoimitusten harjoittelun avulla.

Matematiikka on arjessamme oiva apuväline, luotettava työkalu, joka on kaunis ja elegantti, mutta joka osaa myös yllättää! (Siltanen, 2019.) Jopa niinkin yksinkertaisissa matemaattisissa operaatioissa kuin suuruusluokkien arvioinnissa ja peruslaskutoimituksissa (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku), joiden oppimiseen tarvittavien esimatemaattisten taitojen ja valmiuksien harjoittelu alkaa varhaiskasvatuksessa, on paljon voimaa ja ne ovat erittäin käyttökelpoisia jopa asiantuntijoiden tekemässä matematiikassa.

Omat tutkimusintressini

Olen tarkastellut jatkuvan funktion approksimointia. En pureudu tässä yhteydessä tarkemmin jatkuvan funktion määrittelyyn, mutta nyrkkisääntönä on, että jatkuvan funktion kuvaaja on yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa, vaikka poikkeuksiakin on. Approksimoinnilla tarkoitan tässä yhteydessä monimutkaisemman funktion arvojen määrittämistä käyttämällä apuna yksin-kertaisempaa funktiota. Lukiossa approksimointia on hyödynnetty mm. integraalilaskennan yhteydessä, kun on käytetty ns. puolisuunnikasmenetelmää funktion ja x-akselin rajaaman pinta-alan määrittämiseksi (eng. Trapezoidial rule). (Heiskanen, 2014.)

Lineaarisen approksimoinnin formaali matemaattinen ilmaisu ja sen osoittaminen näyttää varmastikin muille kuin matematiikkaa lukeneille melko kauhistuttavalta. Formaalin todistuksen voit halutessasi lukea täältä. Jos tarkastelit todistusta, niin mitä laskutoimituksia ja matemaattisia merkkejä löysit todistuksesta? Todennäköisesti löysit ainakin kolme peruslaskutoimitusta ja niiden merkintätavat. Yhteenlaskun (+), vähennyslaskun (-) ja jakolaskun Kertolaskukin todistuksesta löytyy, mutta matematiikassa on tietyissä tilanteissa vakiintunut tapa, että kertomerkki voidaan jättää kirjoittamatta. Peruslaskutoimitusten lisäksi saatoit huomata myös pienempi kuin merkin (<) sekä itseisarvon merkinnän (|…|).

Halusin esimerkilläni osoittaa, että jopa asiantuntija voi tuottaa monimutkaiselta vaikuttavan abstraktin matematiikan todistuksen hyödyntäen yksinkertaisia matemaattisia operaatioita. Tämä ei onnistuisi, jos ei ymmärtäisi mitään suuruusluokkien arvioinnista ja hallitsisi peruslaskutoimituksia sekä niiden ominaisuuksia perusteellisesti. Tituleerasin itseäni asiantuntijaksi, vaikka en todellakaan koe olevani matematiikan asiantuntija. Osaamiseni matematiikan saralla on itseasiassa varsin spesifiä: olen syventynyt erityisesti reaalianalyysiin ja kvantitatiiviseen tutkimukseen, eli edellä mainitun esimerkin lisäksi tilastomatematiikan hyödyntämiseen tutkimuksen teossa. Varhaiskasvatuksen opettajaksi haluavan on tärkeä tiedostaa, että em. todistus ei tulisi onnistumaan ilman vahvaa käsitystä matemaattis-loogisista periaatteista, laskemisesta, lukumääräisyyden tajusta ja aritmeettisista periaatteista. Vankan ja vahvan osaamisen pohja rakentuu varhaiskasvatuksen ja esiopetuksen myötä ja kehittymistä on mahdollista jatkaa koko elämän ajan!

Niin Professori Siltanen kuin minäkin harrastan kitaran soittoa. Häntä mukaillen voisin verrata matematiikkaa kitaran soittoon. Omasta kokemuksestani voin kertoa, että kenestä tahansa voi tulla oikein hyvä ”nuotiokitaristi”, eli kitaristi, joka hallitsee yhteislaulun ja säestämisen, jos vain harjoittelee ahkerasti, mutta kaikista ei tule Jimi Hendrixejä tai Eddie Van Haleneita. Kitaransoiton (ja matematiikan) hienous onkin juuri siinä, että aina on uutta opittavaa! Uusia kivoja biisejä ja soitettavaa (matematiikan sisältöjä), soittotekniikan harjoittelusta puhumattakaan (matema-tiikan menetelmiä). Aloittelijalle voin suositella lukuisia helppoja kappaleita opeteltavaksi, alkuun vaikkapa kolmen soinnun sointukierrolla soitettava Creedence Clearwater Revivalin Bad Moon Rising (D-A-G-D). Vastaavasti perustason matemaattiset taidot ovat kaikkien opittavissa ja valmiuksia näiden taitojen oppimiselle luodaan varhaiskasvatuksessa. Nykyistenkin PISA-tutkimusten tulosten valossa, tätä tärkeää työtä ei pidä väheksyä! Päinvastoin.

Lopuksi. Myös ystäväni Taneli Korhonen (FT), joka opetti minulle aikoinaan kitaran soiton alkeita, ja opettaa edelleen, on koulutukseltaan matemaatikko. Tästä herääkin monta mielen-kiintoista kysymystä: Onko musiikilla ja matematiikalla jotain yhteistä? Voisiko sointukierrot ja rytmikuviot nähdä toistuvina sarjoina? Entäpä mikä yhteys tahtilajilla tai nuottien aika-arvoilla on murtolukuihin ja laskemiseen, miksi kitaristin jompikumpi jalka tai jalkaterä heiluu ja ”hakkaa tahtia”? Tai yleisemmin, pystytkö tarkasti edes määrittelemään mitä musiikki tai matematiikka on? Se on kuitenkin varmaa, että kaikki nauttivat itselleen mieluisasta musiikista, miksi näin ei voisi olla myös matematiikan osalta?

Henri Heiskanen
Itä-Suomen yliopisto
Yliopisto-opettaja, matematiikan pedagogiikka

Lähteet:

Heiskanen Nina. 2019. Eheytetty varhaispedagogiikka. Opetusmateriaali. Itä-Suomen Yliopisto.

Heiskanen Henri. 2014. Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma – Jatkuvan funktion approksimointi. Itä-Suomen Yliopisto.

Huotilainen Minna. 2019. Presentaatio kasvatustieteenpäivillä Joensuussa.

OPH. Esiopetuksen opetussuunnitelma 2014.

Siltanen Samuli. 2019. Astu matematiikan maailmaan. Otava.